和算の隆盛と遺題継承の流行

江戸時代初期、吉田光由が著した『塵劫記』（1627年）の爆発的な普及により、日本国内に数学ブームが巻き起こった。このブームのなかで、和算家たちは自著の巻末に未解決の難問（遺題）を提示し、他の和算家が次に出版する書物でその解答を示すとともに新たな難問を出すという、「遺題継承（いだいけいしょう）」と呼ばれる学術的な競争が行われるようになった。

1671年（寛文11年）、沢口一之が『古今算法記』を著し、中国の数学に由来する「天元術」を用いて先人の遺題を解いたが、同時に彼自身も自らでは解けない15問の難問を遺題として提示した。この極めて複雑な問題に対する解答として世に出されたのが、当時まだ無名であった関孝和の『発微算法』である。

点竄術（代数記号法）の創始

『古今算法記』で提示された難問は、多変数の連立方程式を立てなければ解けないものであった。当時の中国や日本で行われていた「天元術」は、算木（さんぎ）と呼ばれる木製の棒を盤上に並べて計算する優れた方程式論であったが、盤面の制約上、一度に一つの未知数しか扱うことができず、複数の未知数が絡む複雑な問題には対応できなかった。

関孝和はこの限界を突破するため、算木による操作を紙の上での文字式に置き換える画期的な手法を考案した。未知数や係数を漢字などの文字で表し、それらを紙に書き記して（傍書法）式の変形や代入を行うというもので、関はこれを「点竄術（てんざんじゅつ）」と呼んだ。西洋数学における「代数記号法」に相当するこの発明により、複数の未知数を含む高次方程式を紙上で整理し、最終的に一元方程式に帰着させることが可能となったのである。

『発微算法』の歴史的意義と影響

『発微算法』は、関孝和の生前に出版された唯一の著書である。本書はあくまで沢口一之の遺題15問に対する解答とその計算手順を示すものであったが、その背景にある点竄術という新手法は当時の和算界に衝撃を与えた。しかし、その内容はあまりにも高度で記述も簡略であったため、刊行直後には理解できる者が少なく、批判を受けることすらあった。

その後、関の高弟である建部賢弘（たけべかたひろ）が1685年（貞享2年）に詳細な解説書『発微算法演段諺解（えんだんげんかい）』を著したことで、点竄術は広く和算家たちに理解・共有されるようになった。点竄術という強力な「数学的言語」を獲得した和算は、その後、円や曲線の面積・長さを求める「円理」（西洋の微積分学に相当）などの高等数学へと飛躍的に発展していく。『発微算法』は、日本の学問が同時代の西洋数学に匹敵する独自の世界的水準へと達するための、強固な理論的基盤を築いた歴史的文献といえる。